Lisans eğitimini tamamladıktan sonra yüksek lisans eğitimi için ABD’ye gitmiştir. Washington Eyalet Üniversitesi Ekonomi Bilimleri Okulunda, Ekonomi alanında yüksek lisans eğitimini tamamladı. Özel sektörde Bütçe Planlama ve Raporlama Uzmanı olarak çalıştı. Marmara Üniversitesi İktisat Tarihi Anabilim Dalında ekonomi doktorasını tamamladı.
12 Haziran 2011 genel seçimlerinde Adalet ve Kalkınma Partisi’den İstanbul Milletvekili olarak seçildi.
TBMM’de Dışişleri Komisyonu üyeliği yaptı. Aynı dönemde Plan ve Bütçe Komisyonu üyeliğinde bulundu. NATO Parlamenter Asamblesi (NATOPA) Türk Grubu Üyeliği’nin yanı sıra AK Parti Genel Merkez Halkla İlişkiler Başkan Yardımcılığı görevini yürüttü.
Numan Kurtulmuş’un Başbakan Yardımcılığı görevine atanmasından sonra, 27 Ağustos 2014 tarihinde yapılan AK Parti 1. Olağanüstü Kongresinde Ekonomiden sorumlu AK Parti Genel Başkan Yardımcılığı görevine getirilmiştir.
12 Eylül 2015 tarihinde yapılan AK Parti 5. Olağan Genel Kurulunda yeniden AK Parti MKYK üyeliğine seçilmiştir.
27 Mayıs 2016’da AK Parti Grup Başkanvekili seçilen Muş, TBMM’nin 26 ve 27. dönemlerinde bu görevi yürütmüştür. 31 Mart 2021 tarihinde grup başkanvekilliği sona ermiştir.
21 Nisan 2021’de Resmî Gazete’de yayımlanan Cumhurbaşkanı Kararıyla Ruhsar Pekcan’dan boşalan Ticaret Bakanlığına atanmıştır. Atamayla birlikte milletvekilliği sona ermiştir.
14 Mayıs 2023’te yapılacak cumhurbaşkanlığı ve 28. dönem milletvekilliği seçimleri için Samsun’dan Ticaret Bakanlığı ünvanı ile birlikte 1. sıra milletvekili adayı gösterildi.
Mehmet Muş, evli ve 1 çocuk babasıdır.
